شرح كتاب الرياضيات كاملاً "شهاب". - منتدى طلاب وطالبات الجامعة السعودية الإلكترونية

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:53 PM

بسم الله الرحمن الرحيم

شرح كتاب الرياضيات كاملاً "شهاب".

1. في هذا الموضوع سأشرح كتاب الرياضيات كاملاً وسيغنيك إن شاء الله عن المدرسين.
2. سأعتمد في شرحي هذا على كتاب الرياضيات فقط دون غيره.
3. ستتعلم كيف تدخل اختبار الرياضيات وتحقق الدرجة الكاملة.
4. ستتعلم كيف تختصر الوقت في اختبار الرياضيات مع ضمان الحل الصحيح.
5. سيكون الشرح بالعربي تماماً مع ذكر بعض المصطلحات الانجليزية في الرياضيات لأهميتها.
6. سيقسم الشرح إلى قواعد + قوانين + مسائل + حلول + ملاحظات.
7. سأستخدم الآلة الحاسبة العلمية "CASIO fx-991ms" .
8. سيتم وضع أهم النقاط في نهاية كل وحدة.
9. نرحب بالأسئلة وسيتم الإجابة عليها إن شاء الله.
10. نسألكم الدعاء ..

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:54 PM

الفصل الأول

مقدمة للأعداد الحقيقية و العبارات الجبرية "الرياضية".

1. مقدمة للجبر.
2. الأعداد الحقيقية.
3. جمع الأعداد الحقيقية.
4. طرح الأعداد الحقيقية.
5. ضرب الأعداد الحقيقية.
6. قسمة الأعداد الحقيقية.
7. خصائص الأعداد الحقيقية.
8. تبسيط العبارات والعمليات الرياضية.

أولاً: مقدمة للجبر:

تعريف الجبر: الجَبْر كلمة عربية وهو فرع من علم الرياضيات وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب: المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.

- في الحساب يتم التعامل مع بعض العبارات مثل: + ، - ، × ، ÷ وهكذا :

5/6 ، 29-14 ، 8×6.5 ، 49+75

- في الجبر يمكن اضافة الحروف عوضاً عن الأرقام ويتم التعامل مع العبارات الجبرية مثل:

x+75 ، 8×y ، 29-t ، a/b

- بعض الأحيان الحرف قد يرمز إلى أرقام متغيرة، في هذه الحالة نسمية "متغير" "Variable" وأحياناً يرمز إلى رقم واحد فقط، ففي هذه الحالة نسمية "ثابت" "Constant" .

مثال على المتغير:
لندع a = عمرك ،، فهو يتغير كل سنة.
مثال على الثابت:
لندع b = يوم ميلادك ،، فهو ثابت لا يتغير.

- ملاحظة: العبارات الجبرية تحتوي على: ثوابت ومتغيرات و أرقام و إشارات العمليات و مجموعة رموز.
- ملاحظة: عندما نجعل بدل أي متغير رقم، نسمي هذه العملية "التعويض" "Substituting" .
- ملاحظة: عندما نعوّض بدل المتغيرات بالأرقام في العملية الحسابية نسمي هي العملية "بالتقييم أو التقويم" "Evaluating".

مثال:
>>Evaluate<<
x + y when x=37 and y=29

>>Solution<<

x + y = 37 + 29 = 66

الجواب: هو 66 ،، ونسمية "القيمة" "Value".

- بعض العبارات الجبرية تكتب بأكثر من طريقة على سبيل المثال:
" 8 ضرب a "
" a times 8 "

مثال آخر:
" 8 مقسوم على t "
" t divided by 8 "

جدول ترجمة العبارات الكتابية إلى العمليات الجبرية:

- ترجمة بعض العبارات الكتابية إلى أرقام:

Seven minus some number
العامل الأساسي في هذه العبارة هو رقم سبعة "Seven" ، ومعنى العبارة: سبعة أُنْقِصَ منها رقمٌ ما. فكأنما يطلب منك أن تتعامل مع السبعة وليس مع المتغير.
ولحل هذه العبارة نضع العامل الأساسي في وهو رقم سبعة "Seven" في الأول ثم العلامة المطلوبة ثم المتغير.

Seven less than some number
العامل الأساسي في هذه العبارة هو المتغير "Some number" ، ومعنى العبارة: سبعة تكون أقل من رقمٍ ما، فكأنما يطلب منك أن تتعامل مع متغير وتحذف منه سبعة .
ولحل هذه العبارة نضع العامل الأساسي وهو المتغير "Some number" في الأول ثم العلامة المطلوبة ثم المتغير.

وفي كلا الحالتين نعوض عن عبارة "some number" بمتغير "x" .

وهنا جدول بالكثير من العبارات وترجمتها:

ثانياً: الأعداد الحقيقية:

1. الأعداد الطبيعية: وهي الأعداد التي تستخدم للعد "الأرقام المعدودة" ،، ملاحظة: لا مجال لوجود الصفر والناقص فيها .
Natural Numbers = {1,2,3,4,...................** .1

2. الأعداد الصحيحة: وهي الأعداد الطبيعية مع وجود الصفر ،، ملاحظة: لا مجال لوجود الناقص فيها .
Whole Numbers = {0,1,2,3,4,...................** .2

3. الأعداد الصحيحة: وهي الأعداد التي تحتوي على الأرقام الموجبة "positive" والسالبة "negative" .
Integers Numbers = **...-3,-2,-1,0,1,2,3,...** .3

4. الأعداد النسبية: وهي الأعداد التي تكون موجبة وسالبة وقد تحتوي على كسور ولا تساوي صفر (0≠a) .
Rational Numbers = 2/3 ، -2/3 ، 7/1 ، 4 ، -3 ، 2.4 ، -0.17 .4

5. الأعداد غير النسبية: وهي الأعداد التي لا تكون نسبية على خط الأعداد .
Irrational Numbers : π = 3.141592... ، √2 = 1.4142... .5

6. الأعداد الحقيقية: جميع ما ذكر سابقاً .
Real Numbers = all .6

- طريقة التحويل الأرقام من الكسور "fraction notation" إلى الأرقام العشرية "decimal notation" والعكس:

في هذه الحالة سأستخدم الآلة الحاسبة العلمية "CASIO fx-991ms" .

في الآلة الحاسبة ستجد هذه الأيقونة وهي تدل على وضع الكسر "رقم فوق رقم"،، وهي المسؤولة في الآلة الحاسبة لتحويل الكسر إلى رقم عشري والعكس . حاول الضغط عليها أكثر من مرة.

هنا أمثلة عليها :

ملاحظة: من يحتاج إلى الطريقة اليدوية في التحويل يسأل فقط وسيتم شرحها إن شاء الله .

عبارات أصغر من و أكبر من:

- نستخدم الرمز > والذي يعني أصغر من "is less than ".
- نستخدم الرمز ≥ والذي يعني أصغر من "is less than or equal to ".

- نستخدم الرمز < والذي يعني أكبر من "is greater than".
- نستخدم الرمز ≤ والذي يعني أكبر من "is greater than or equal to".

بعبارة أخرى: الرقم ذو الجهة المفتوحة هو أكبر من الرقم ذو الجهة المغلقة.

ملاحظة: السالب دائماً أقل من الموجب مهما كبرت قيمته.

القيمة المطلقة "Absolute value": |×| :
وهي المسافة من نقطة الصفر إلى الرقم المطلوب على خط الأعداد.

فمثلاً:
القيمة المطلقة لـ |4| هي: المسافة من صفر إلى 4 = 4 عدات.
القيمة المطلقة لـ |4-| هي: المسافة من صفر إلى 4- = 4 عدات.

فنستنتج من السابق أن:
كل عدد موجب ، القيمة المطلقة له = نفس العدد بالموجب.
وكل عدد سالب ، القيمة المطلقة له = نفس العدد بالموجب.

ملاحظة: أي عملية حسابية داخل القيمة المطلقة ، يتم تبسيط العلمية الحسابية والناتج إذا كان بالسالب يحول للموجب، أما إذا كان السالب خارج القيمة المطلقة فيبقي سالب .

مثال:

ثالثاً: جمع الأعداد الحقيقية:

قواعد أساسية في الاشارات:
1. موجب + موجب = موجب.
2. سالب + سالب = سالب.
3. سالب + موجب = إشارة الأكبر ونطرح.

>>مثال: :Simplify<<

(12-) + (5-) + 14 + 7 + (2-) + 15
نجمع الأعداد الموجبة مع بعض والسالبة مع بعض
(12-) + (5-) + (2-) + 14 + 7 + 15
(12- 5- 2-) + (14 + 7 + 15)
عملية حسابية عادية جداً
(19-) + 36
الناتج هو:
17

- معكوس الرقم"Opposite or additive inverse" : وهو الرقم الذي إذا جمعناه في معكوسه يعطينا القيمة صفر.
The opposite of 34 is -34 because 34 + (-34) = 0
The opposite of -7/8 is 7/8 because -7/8 + 7/8 = 0

رابعاً: طرح الأعداد الحقيقية:

>>مثال: :Simplify<<

(4-) - 2.3 + (6.1-) - 8.2
بعبارة اخرى:
((4-) × 1-) + (2.3) + ((6.1-) × 1-) + (8.2)
وبعد التحليل تصبح العملية
4 + 2.3 + 6.1 + 8.2
الآن أصبحت سهلة الحل ، الناتج:
20.6

خامساً: ضرب الأعداد الحقيقية:

قواعد أساسية:
1. الضرب عملية إبدالية،، يعني لو وضعت الرقم الأول مكان الثاني أو العكس وضربتهم في بعض سيكون نفس النتيجة.
2. عملية الضرب هي مقلوب "reciprocals" عملية القسمة.
3. ضرب أي رقم في صفر سيكون الناتج صفر.
4. ضرب أي رقم في واحد سيعطي نفس الرقم المضروب.

# اشارات علامة الضرب:
موجب × موجب = موجب
سالب × سالب = موجب
سالب × موجب = سالب
موجب × سالب = سالب

# بعض أشكال علامة الضرب :
( ) أو × أو .

>>مثال: :Multiply<<

(4)(5-)(2-)3-
نضرب أولاً أول رقمين:
(4)(5-)6
نضرب الرقمين التاليين:
4(30-)
الناتج:
120-

مثال آخر:

ملاحظة: لا بد من الإنتباه للإشارة هل هي داخل القوس أو خارج القوس،، فإذا كانت داخل القوس فهي تشمل التربيع،، أما إذا كانت خارج القوس فهي لا تشمل التربيع .

سادساً: قسمة الأعداد الحقيقية:

قواعد أساسية:
1. القسمة هي مقلوب "reciprocals" الضرب.
2. أي رقم مقسوم على صفر يكون غير معروف "not defined".
3. رقم صفر إذا قسم على أي رقم سيكون الناتج هو صفر.

The reciprocal of 7/8 is 8/7 because 7/8.8/7=1
The reciprocal of -5 is -1/5 because -5(-1/5)=1
The reciprocal of 3y/8x is 8x/3y because (3y/8x)(8x/3y)=1

# إشارة قسمة الأعداد :
1. موجب ÷ موجب = موجب
2. سالب ÷ سالب = موجب
3. سالب ÷ موجب = سالب
4. موجب ÷ سالب = سالب

>>مثال: أوجد الحل: :Find the solution<<
(3/4-)÷5/6-
الحل:
نقلب القسمة إلى ضرب ، أي: بقلب ما بعد القسمة.
(4/3-) . 5/6-
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
20/18
وللتبسيط الحل:
20 = (2 . 10)
18 = (2 . 9)
إذاً نجزء العملية:
10/9 = 2/2 . 10/9 = (2 . 9)/(2 . 10)
انتهى.

سابعاً: خصائص الأعداد الحقيقية:

1. الإبدال "Equivalent" : وهي إبدال أي عنصر مكان عنصر آخر لا يغير من الناتج النهائي.

2. التبسيط "Simplify":

أساسيات في التبسيط:
1. نتخلص في ما بين الأقواس.
2. نتخلص من الأس.
3. نتخلص من القسمة والضرب.
4. نتخلص من الجمع والطرح.

- طريقة ضرب العامل "factor" في الأقواس "parentheses"

مثال:
(8 + 4) . 5
عندنا أكثر من طريقة لحل مثل هذه المسائل:
الطريقة الأولى: التخلص فيما بين الأقواس "parentheses" .
(8 + 4) . 5
(12) . 5 =
60 =
الطريقة الثانية: نعمل بقانون التوزيع"distributive laws" :
(8 + 4) . 5
(8 . 5) + (4 . 5) =
40 + 20 =
60 =

>>بسط: :Simplify<<

ملاحظة: كل من 56 ، 8a ، 16b يسمى "عنصر" "Term"،، ويكون السؤال عنها ،، اجمع العناصر المشابهة "Collectiong like terms".

مثال آخر:

3. العامل المشترك "Factoring" : وهو عند توزيع العنصر إلى أجزاءه ، نستطيع أن نجد بين كل العناصر عامل نشترك يجمع الكل .

مثال:

ثامناً: التبسيط:

قاعدة: أي (رقم أو متغير) موجب مضروب في 1- يكون الناتج بالسالب.

مثال:

مثال آخر:

مثال ثالث:

ملاحظة: بعض العبارات الجبرية تحتوي على أكثر من قوس " وهي ما تسمى بالمجموعة " :
( ) braces ** ** , brackets [ ] , parentheses
ففي هذه الحالة نتعامل مع الأقواس الداخلية حتى نتخلص من المجموعة ثم التي بعدها وهكذا.

مثال:

انتهى

ملاحظات:
1. في حالة جمع أو طرح الكسور يتم عمل التالي:
أ. (ضرب بسط الطرف الأول في مقام الطرف الثاني).
ب. (العلامة التي بين الرقمين).
ج. ( ضرب بسط الطرف الثاني في مقام الطرف الأول)
د. نضع جميع ما سبق في بسط الكسر الجديد.
هـ. وفي المقام : (نضرب المقام الأول في المقام الثاني).

مثال:

2. في حالة ضرب الكسور يتم عمل التالي:
أ. (ضرب بسط الطرف الأول في بسط الطرف الثاني).
ب. (ضرب مقام الطرف الأول في مقام الطرف الثاني).

مثال:

أهم النقاط الأساسية التي يجب التركيز عليها :
1. عبارة "Evaluate" أي: أوجد قيمة المعادلة التالية.
2. عبارة "Seven less than some number" وتعني: x - 7.
3. التركيز على عبارات أكبر من ، وأصغر من .
4. القيمة المطلقة دائماً موجبة.
5. عبارة "Opposite" يعني: معكوس الرقم . مثال: The opposite of 34 is -34.
6. عبارة "Reciprocals" تعني: مقلوب الرقم. مثال: The reciprocal of 7/8 is 8/7.

أسئلة وردت في الإختبارات السابقة عن هذا الدرس:
1. :The result of (-3a + 10a) is
2. :The value of |x - 2| when x = -3 is
3. :The opposite of -34 is
4. :The result of (-3a × 10a) is
5. :The translate of a number less than 5 is
6. :The value of x + 2y, when x=-3 and y=2 is
7. :The result of |-4| + 2 is
8. =|3/7-|- The result of
9. =5/11- The reciprocal of
10. :The value of a^2-3 when a = -4 is

..انتهى الفصل الأول..

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:55 PM

الفصل الثاني

حل المعادلات والمتباينات:

1. حل المعادلات : قاعدة الجمع.
2. حل المعادلات : قاعدة الضرب.
3. استخدام القواعد معاً.
4. الصيغ.
5. تطبيقات النسبة المئوية.
6. التطبيقات وحل المشكلات.
7. حل المتباينات.
8. التطبيقات وحل المشكلات مع المتباينات.

أولاً: حل المعادلات: قاعدة الجمع:

المعادلة: هي جملة أعداد تكون مجموعة عباراتها في كلا الطرفين متساوي. أي: عبارات الطرف الأول يعادل "=" عبارات الطرف الثاني.

>>مثال: :Example<<
5 = 2 + 3
3 + 1 = 10 - 14
13 = 6 + x
x - 7 = 2 - 3x

- ملاحظة: بعض المعادلات تكون صحيحية "true" ، والبعض منها خاطئة "false" ، وبعضها يكون ليس صحيحاً ولا خاطئاً "neither true nor false".

5 = 2 + 3
هذه المعادلة صحيحة "true".
4 = 2 - 7
هذه المعادلة خاطئة "false".
13 = 6 + x
هذه المعادلة قد تكون صحيحة "true" وقد تكون خاطئة "false" ،، لأننا لا نعرف قيمة "x".

>>مثال: :Example<<

للتأكد من حل المعادلة نعوض عن المتغير "x" بقيمته "19/6".
5/2 = 19/6 + 2/3-
الطرف الأول = الطرف الثاني.
إذاً الجواب صحيح "true".

- طريقة حل هذه المعادلة بالآلة الحاسبة العلمية "CASIO fx-991ms":
5/2 = × + 2/3-
الطريقة كالتالي:

ثانياً: حل المعادلات: قاعدة الضرب.

- ملاحظة: لحل أي معادلة من الدرجة الأولى أو ذات متغير واحد ، لابد من التخلص من معامل المتغير.
- قاعدة: ضرب الطرفين في معامل المتغير "x".

>>مثال: :Example<<

- ملاحظة: إذا أردنا التخلص من أي معامل للمتغير ويكون هذا المعامل كسر،، للتخلص منه نضرب الطرفين في مقلوب معامل المتغير.

>>مثال: :Example<<

>>مثال آخر: :Another Exampleِ<<

ثالثاً: استخدام القواعد معاً:

>>مثال: :Example<<

# قواعد طريقة حل المعادلة:
1. الضرب في الطرفين لمسح أي كسر موجود في المعادلة .
2. في حالة وجود أقواس، نضرب في العامل في القوس أو نتبع قانون التوزيع للقوس.
3. نجمع المتشابهات من المتغيرات ، عند الحاجة.
4. نضع جميع المتغيرات في جهة والأعداد في جهة أخرى.
5. نجمع المتشابهات مرة أخرى عند الحاجة.
6. نضرب أو نقسم في الطرفين في معامل المتغير للتخلص من المعامل.
7. نوجد قيمة المتغير .
8. نتأكد من الحل بالتعويض عن قيمة المتغير.

>>مثال على معادلة صحيحة: :Example<<

>>مثال على معادلة خاطئة: :Example<<

رابعاً: الصيغ (التخمين):

- الصيغة: هي وصفة لعمل نوع معين من الحساب ، وغالباً ما تكون على شكل معادلات.
- بصيغة أخرى: نترجم الجمل إلى أرقام ومتغيرات لتصبح كالمعادلة ،، ثم نحل المعادلة.

مثال واحد فقط:

Distance from Lightning Consider the formula M = 1/5t. This formula gives the distance M (miles) of a lightning strike that has a thunder delay of t seconds

Suppose it takes 10 sec for the sound of thunder to reach you after you have seen a flash of lightning. How far away did the lightning strike

Solution:

We substitute 10 for t and calculate M

M = 1/5t = 1/5(10) = 2

The lightning struck 2 mi away

# قواعد حل معادلات الصيغ:
1. أهم نقطة: عرّف الحرف (أو الحروف) الموجود في المسألة.
2. اضرب في الطرفين لمسح أي كسر في المعادلة. عند الحاجة.
3. اجمع المتشابهات مع بعضها البعض. عند الحاجة.
4. اجعل المتغيرات في جهة والأعداد في جهة أخرى.
5. اجمع المتشابهات مرة أخرى مع بعضها البعض. عند الحاجة.
6. اوجد قيمة الحرف (أو الحروف) في السؤال؟

خامساً: استعمال النسبة المئوية:

# لحل مسائل النسب المئوية:
1. نترجم المسألة من كلام إلى رموز وأرقام لتصبح كالمعادلة.
2. ثم بعد ذلك نحل المعادلة باستخدام طريقة النقاش.

- ترجمة بعض المصطلحات والعبارات في النسبة المئوية:

1. عبارة "Of" تترجم إلى "." أو "X".
2. عبارة "Is" تترجم إلى "=".
3. عبارة "What number" أو "What percent" تترجم إلى أي متغير "z".
4. عبارة "%" تترجم إلى "1/100 X" أو "0.01 X".

>>مثال: :Example<<

>>مثال آخر: :Another Exampleِ<<

>>مثال آخر: :Another Exampleِ<<

>>مثال آخر: :Another Exampleِ<<

سادساً: التطبيقات وحل المشكلات:

هذا الدرس يتعلق بالأسئلة المقالية ،، ولم يأتي منها سؤال واحد حتى الآن في الأختبارات السابقة وأغلب المدرسين يذكروا بأن الأسئلة المقالية لن تأتي في الاختبار. فلن أطيل الشرح فيها .. ومن أراد شرحها فليسأل سؤال وسيتم الرد عليه وشرحها في رد آخر.

# خمس خطوات لحل المشكلات في الجبر:
1. ادمج نفسك مع الأسئلة المقالية ذات المشكلة، وكن طرف فيها. (خمن).
2. ترجم المسألة إلى معادلة.
3. حل المعادلة.
4. تأكد من الحل في المسألة الرئيسية. (بالتعويض).
5. ضع الإجابة الصحيحة.

سابعاً: حل المتباينات أو المتراجحات:

- المتباينة: هي جملة من الأرقام مع > ، < ، ≥ ، ≤ .

>>مثال: :Example<<

- ملاحظة: التعويض اللذي يجعل المتباينة صحيح "true" تسمى بالحل "solution" .
- ملاحظة: مجموعة الحلول تسمي "solution set". وتكتب هكذا: {5 > x|x**.
- ملاحظة: نستخدم الرسم البياني "Graph" لتوضيح الحلول في المتبانية .

>>مثال: :Example<<

>>مثال: :Example<<

- ملاحظة (1): نضع الدائرة مغلقة "•" والتي تشير إلى تضمين الرقم في خط الأعداد ،، أي يوجد يساوي ≤.
- ملاحظة (2): نضع الدائرة مفتوحة "o" والتي تشير إلى عدم تضمين الرقم في خط الأعداد ،، أي لا يوجد يساوي >.

>>مثال: :Example<<

- ملاحظة: في حالة قسمة الطرفين على معامل المتغير "x" فيجب أن ننتبه لنقطة أساسية وهي: إذا كان التقسيم موجب فإن إشارة المتباينة تبقى كما هي،، أما إذا كان التقسيم سالب فإن إشارة المتباينة تنعكس للجهة الأخرى.

>>مثال: :Example<<

ثامناً: التطبيقات وحل المشكلات مع المتباينات:

هذا الدرس يتعلق بالأسئلة المقالية ،، ولم يأتي منها سؤال واحد حتى الآن في الأختبارات السابقة وأغلب المدرسين يذكروا بأن الأسئلة المقالية لن تأتي في الاختبار. فلن أطيل الشرح فيها .. ومن أراد شرحها فليسأل سؤال وسيتم الرد عليه وشرحها في رد آخر.

# ترجمة بعض المصطلحات والعبارات إلى متباينات:

أهم النقاط الأساسية التي يجب التركيز عليها :
1. عبارات النسبة المئوية مهمة جداً جداً جداً..
2. الدائرة مغلقة "•" أي يوجد يساوي ≤. والدائرة مفتوحة "o" لا يوجد يساوي >.
3. عندما نقسم الطرفين بالسالب في المتباينة فإن الإشارة تنعكس.

أسئلة وردت في الإختبارات السابقة عن هذا الدرس:
1. :is" translates to"
2. : x is at least 5" means"
3. 4.5is 25% of what number
4. (Find an equivalent expression without parentheses: -(-2p + 5q - 8t
5. 25is what percent of 125

... انتهى الفصل الثاني ...

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:55 PM

الفصل الثالث

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:56 PM

الفصل الرابع

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:56 PM

الفصل الخامس

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:57 PM

الفصل السادس

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:57 PM

الفصل السابع

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:58 PM

الفصل الثامن

شهاب · منذ /06-04-2014, 04:58 PM

الفصل التاسع